Problema di rotazione
(elaborato da Linardi-Galbusera, Percorsi di Geometria, esercizi per la classe terza, Mursia) 


Un trapezio rettangolo ha la base maggiore di 30 cm, la diagonale minore di 25 cm e la differenza delle basi di 15 cm. Calcola: 

a) Perimetro e area del trapezio 
b) l'area della superficie del solido generato dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base maggiore 
c) il suo volume 
d) il suo peso in Kg, sapendo che il solido è fatto di ferro (Ps=7,8) 

SOLUZIONE 

  		AB=30 cm 

CA=25 cm 

 AB-DC= HB = 15 cm 

 Ps = 7,8 
a) Perimetro e area del trapezio 

AH = DC = AB - HB = 30 - 15 = 15 cm 
CH = AD = radq(CA2-AH2) 
        = radq(252-152) = radq(625 - 225) = radq(400) = 20 cm 
Se HA=HB =15 cm allora anche AC = CB = 25 cm perché i due triangoli AHC e CHB sono congruenti (triangoli rettangoli con i cateti uguali) 

2p = AB + BC + CD + DA = 30 + 25 + 15 + 20 = 90 cm 
A = (AB + CD)*CH/2 = (30 + 15)*20/2 = 450 cm2  

b) l'area della superficie del solido generato dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base maggiore 

(p = pi greco) 

Alcilindro = 2*r**h = 2*DA**DC = 2*20**15= 600 cm2 
Alcono = r*  *a = CH*  *BC= 20*  *25 = 500  cm2 
Ab = r2  = DA2 *  = 202  = 400p cm2 
Asolido= Alcilindro + Alcono + Ab = 600  + 500 + 400 = 1500 cm2 

c) il suo volume 

Vcilindro= r2 * * h = DA2 * * CD = 202 * * 15 = 400*15* = 6000 cm3 
Vcono = r2* *h/3 = CH2* *HB/3 = 202*15* /3 = 400*15* /3 = 2000 cm3 
Vsolido= Vcilindro + Vcono = 6000 + 2000 = 8000  cm3  

d) il suo peso in Kg, sapendo che il solido è fatto di ferro (Ps=7,8) 

P= V * Ps = 8000  * 7,8 = 25120*7,8= 195936 g = 195,936 Kg