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Problema di rotazione

(Scarpel, S.M.Pisani Venezia-Lido) 

Un trapezio rettangolo ha l'altezza di 6 cm. La somma delle basi Ŕ di 36 cm e la base minore corrisponde ai  della base maggiore. 

a) Calcola il perimetro e l'area del trapezio. Risolvi il problema frazionario utilizzando possibilmente un'equazione. 
b) Calcola l'area della superficie del solido generato dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base minore. 
c) Calcola il volume di tale solido di rotazione. 
d) Calcola il suo peso in Kg, sapendo che il solido Ŕ fatto di vetro (Ps=2,5) 
e) Il solido di rotazione viene immerso completamente in un recipiente contenente dell'acqua, a forma di prisma regolare quadrangolare avente lo spigolo di base interno di 25 cm. Calcola di quanti centimetri si innalza il livello d'acqua. 

SOLUZIONE 
  AB + DC =36 cm 

DC = AB 

DA= 6 cm 

Ps =2,5 
a) Perimetro e area del trapezio 
Soluzione con l'equazione  Soluzione come problema frazionario  
AB = x 

DC = 

 

AB=22 cm 

 DC=36-22=14 cm 
fraz. corr. a 36 cm 

36:18=2 cm corr. all'unitÓ frazionaria  

AB= 2*11=22 cm 

 DC=2*7=14 cm 
HB=22-14=8 cm 
CB= radq(CH2+HB2
     = radq(62-82) = radq(36 + 64) = radq(100) = 10 cm 
2p = AB + BC + CD + DA = 22+10+14+6 = 52 cm 
A = (AB + CD)*CH/2 = 36*6/2 = 108 cm2 




b) l'area della superficie del solido generato dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base minore 


Alcilindro = 2rh = 2*DA*AB = 2 6*22= 264 cm2 

Alcono = ra = CH*BC= 6*10 = 60cm2 
Ab = r2 = DA2 =62 =36cm2 
Asolido= Alcilindro + Alcono + Ab = 264 + 60+ 36 = 360 cm2 




c) il suo volume 

Vcilindro= r2  h = DA2 *AB = 62 * 22 = 36*22 = 792 cm3 

Vcono = r2h/3 = CH2*HB/3 = 62*8 /3 = 36*8 /3 = 96 cm3 

Vsolido= Vcilindro - Vcono = 792 - 96 = 696 cm 




d) il suo peso in Kg, sapendo che il solido Ŕ fatto di vetro (Ps=2,5) 

P= V * Ps =696 * 2,5 =  2185,4 *2,5 = 5463,6 g = 5,4636 Kg 

e) L'innalzamento del livello di liquido per immersione in un contenitore a forma di prisma quadrangolare regolare con lo spigolo di base di 25 cm 

Sbprisma= 252=625 cm2 

Innalzamento del liquido = Vsolido/Sbprisma= 2185,4/625 = 3,49 cm