004- Quesito di geometria analitica
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(Ubaldo Pernigo, 1995)

In un piano cartesiano rappresenta i punti di coordinate:

A(-5;2), B(6;2), C(9;6) e D(-2;6)

fissando come unitÓ di misura il centimetro (due quadretti del foglio corrispondono a un centimetro).

A-->Congiungi nell'ordine i punti dati, indica il nome della figura ottenuta e descrivine le proprietÓ (lati, angoli, ...).
B-->Calcola la misura del perimetro e l'area del quadrilatero.
C-->Disegna il simmetrico di ABCD rispetto all'asse x e indica le coordinate dei nuovi vertici.
D-->Rappresenta nello stesso piano la retta di equazione  e verifica graficamente e algebricamente che la retta interseca il poligono in uno dei suoi vertici.
E-->Scrivi l'equazione della retta parallela alla retta data passante per l'origine degli assi e rappresentala nello stesso piano cartesiano.
F-->Determina l'area totale e il volume di un prisma retto avente per base il poligono dato e l'altezza uguale ai  del perimetro di base.

Soluzione


In un piano cartesiano rappresenta i punti di coordinate:

A(-5;2), B(6;2), C(9;6) e D(-2;6)

A-->Congiungi nell'ordine i punti dati, indica il nome della figura ottenuta e descrivine le proprietÓ

C-->Disegna il simmetrico di ABCD rispetto all'asse x e indica le coordinate dei nuovi vertici.

Avendo i lati opposti paralleli ()- lo si potrebbe dimostrare analiticamente confrontando le equazioni delle rette relative ai lati) e congruenti (AD=BC e AB=CD - vedi il calcolo) si tratta di un parallelogramma.

Gli angoli opposti sono congruenti ( )

Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari:

()

Ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti e queste si dimezzano scambievolmente.

B--> Calcola la misura del perimetro e l'area del quadrilatero.

AB 11 cm

DC 11 cm

AD = sqr((xD-xA)2+(yD-yA)2) = sqr(32+42) = sqr(25) = 5 cm

BC = sqr((xB-xC)2+(yB-yC)2) = sqr(32+42) = sqr(25) = 5 cm

2p_parallogrammo = AB + BC + AC = 11+5+11+5 = 32 cm

Essendo H(-2;2)

DH = h_parallogrammo = 4 cm

A_parallogrammo = b * h = AB*DH = 11*4 = 44 cm2
 

D-->Rappresenta nello stesso piano la retta di equazione  e verifica graficamente e algebricamente che la retta interseca il poligono in uno dei suoi vertici. (* vedi avanti)

x y

 3 

 6

0-2 = -2 

 2-2 = +0 

 4-2 = +2 

Calcolo il valore dell'ordinata y per i valori delle ascisse x dei punti del quadrilatero A(-5;2), B(6;2), C(9;6) e D(-2;6):
x y
-5 

 +6 

+9 

 -2

+4/3 

 +2 

 -10/3 

La retta passa per B(6;2)

E--> Scrivi l'equazione della retta parallela alla retta data passante per l'origine degli assi e rappresentala nello stesso piano cartesiano.

Stesso coeff. angolare e intercetta = 0.

x y

 6

 2 

 4 


F-->Area totale e volume prisma retto con base il poligono dato e altezza =  2p_di_base.

2p_parallogrammo = 2p_base_prisma = 32 cm

h_prisma = 5/8 * 2p = 20 cm

St_prisma = 2*Sb + Sl = 2*44+2p_base*h_prisma = 88 + 32*20 = 728 cm2

V_prisma = Sb*h_prisma = 44*20 = 880 cm3


(*) Estensione analitica e dimostrazione dei lati paralleli.
eq_rettaBC  

eq_rettaAB  

y = 2
Intersezione retta data con la retta per BC 
Intersezione retta data con la retta per AB 

 

eq_rettaAD  

eq_rettaCD  

y = 6
Intersezione retta data con la retta per AD 
Intersezione retta data con la retta per CD