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002- Quesito di geometria analitica

(adattato da U. Pernigo - fonte Nicoletti, Servida, Somaschi - Introduzione al corso di Matematica - CEDAM 1997, p. 337)

I punti A(2;1), B(6;-2), C(10;1) e D(6;4) sono i vertici di un quadrilatero ABCD.
 

a) Stabilisci analiticamente di quale quadrilatero si tratta (confronta la lunghezza dei lati, osserva poi le equazioni delle rette passanti per A e B e per C e D e quelle passanti per B e C e A e D).

b) Calcola l'area e il perimetro del quadrilatero.

c) Fissando come unità di misura il centimetro (due quadretti del foglio = 1 cm = unità di misura) rappresenta in un piano cartesiano ortogonale il quadrilatero ABCD.

d) Supponi di estrudere la figura di 10 cm ad ottenere un prisma che abbia per base il quadrilatero ABCD. Calcola l'area della superficie totale e il volume di tale solido, dopo averlo rappresentato in modo isometrico (rappresentazione a due dimensioni di un oggetto tridimensionale) e averne disegnato il relativo sviluppo.

Soluzione

I punti A(2;1), B(6;-2), C(10;1) e D(6;4) sono i vertici di un quadrilatero ABCD.

a) Stabilisci analiticamente di quale quadrilatero si tratta (confronta la lunghezza dei lati, osserva poi le equazioni delle rette passanti per A e B e per C e D e quelle passanti per B e C e A e D).
eq_rettaAB || 

 

 eq_rettaCD  

 

 eq_rettaBC || 

 

 eq_rettaAD  

 
AB = sqr((xA-xB)2+(yA-yB)2) = sqr((2-6)2+(1+2)2) = sqr(25) = 5 cm

BC = sqr((xB-xC)2+(yB-yC)2) = sqr((6-10)2+(-2-1)2) = sqr(25) = 5 cm

CD = sqr((xC-xD)2+(yC-yD)2) = sqr((10-6)2+(1-4)2) = sqr(25) = 5 cm

AD = sqr((xA-xD)2+(yA-yD)2) = sqr((2-6)2+(1-4)2) = sqr(25) = 5 cm


c)

Il quadrilatero è equilatero (ha i quattro lati uguali come risulta dai calcoli effettuati) e ha lati opposti paralleli (uguale coeff. angolare nelle equazioni delle rette relative ai lati) ma non perpendicolari. Si tratta di un rombo.

b) Calcola l'area e il perimetro del quadrilatero.

d = BD = |yB-yD| = |-2-4| = 6 cm

D = AC = |xA-xc| = |2-10| = 8 cm

A_rombo = D*d/2 = BDAC/2 = 6*8/2 = 24 cm2

2p_rombo = 4 * l_rombo = 4*5 = 20 cm


d) Supponi di estrudere la figura di 10 cm ad ottenere un prisma che abbia per base il quadrilatero ABCD. Calcola l'area della superficie totale e il volume di tale solido, dopo averlo rappresentato in modo isometrico (rappresentazione a due dimensioni di un oggetto tridimensionale) e averne disegnato il relativo sviluppo.

St = 2*S_base_prisma + S_lat_prisma
2*A_rombo + 2p_rombo*h_prisma
= 2*24 + 20*10
= 48 + 200 = 248 cm2

V = S_base_prisma * h_prisma
= A_rombo * h_prisma
= 24 * 10 = 240 cm3 isma
= A_rombo * h_prisma
= 24 * 10 = 240 cm3